教学研讨｜ 7.3 复数的三角表示（第1课时）（2019版新教材）

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容

　复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　本单元的知识结构：

　本单元建议用2课时：第一课时，复数的三角表示式；第二课时，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　　2. 内容解析

　复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续和深化.复数的三角表示沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，同时为学生今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础，可见本单元的内容在高中数学乃至大学数学课程中起着承前启后的作用.

　复数的三角表示，实际上是用有序数对（r,）来确定一个复数z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.复数的三角形式与代数形式有着紧密联系，可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；基于复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，因此复数的三角表示是本单元的基础.由复数乘法运算的三角表示可以推导出复数除法运算的三角表示.复数乘、除运算的三角表示不仅形式简洁，给复数的乘、除运算带来了便利，而且它们的几何意义明显，实际上，复数乘、除运算三角表示的几何意义就是平面向量的旋转和伸缩.借助复数乘、除运算三角表示的几何意义，可以将一些复数、三角和平面几何问题转化为向量问题去解决. 因此，复数乘、除运算的三角表示式及其几何意义在本单元中具有重要地位.

　本单元内容突出了复数的三角表示和乘、除运算的几何意义，体现了形与数的融合，如复数的三角表示是从向量出发，借助数形结合，利用三角函数知识推导得出的；复数的乘、除运算可以借助三角表示的几何意义转化为向量的旋转和伸缩变换；等.此外，本单元的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如复数的三角形式和代数形式可以互相转化，复数除法运算的三角表示可以转化为复数乘法运算的三角表示，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决，某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等.再有，本单元在研究过程中也运用了类比的研究方法，如三角表示的两个复数相等的充要条件是类比代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的，等.运用好本单元的相关知识素材，让学生体会这些数学思想和方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.

　基于以上分析，确定本单元的教学重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，以及这些内容所体现的数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法.

　二、目标和目标解析

　　1. 目标

　（1）了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.

　（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.

　（3）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

　（4）在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

　　2. 目标解析

　达成目标（2）的标志是：学生能根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化；能够类比复数代数形式表示的两个复数相等的充要条件得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件，并会判断两个用三角形式表示的复数是否相等.

　达成目标（3）的标志是：学生能根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式推导出复数乘法运算的三角表示式，并能用文字语言阐述其含义；能根据复数乘法运算的三角表示，得出复数乘法的几何意义；会类比复数乘法运算的三角表示及其几何意义得出复数除法运算的三角表示及其几何意义；会依据复数乘、除运算的三角表示及其几何意义进行相关的计算，能解决简单的复数、三角和平面向量问题.

　达成目标（4）的标志是：在教师的引导下，学生能够运用数形结合的思想，探究复数三角表示式和复数乘、除运算几何意义；在复数除法运算三角表示的推导过程中，能体会化归与转化的思想；能够运用类比的方法，探究两个三角表示的复数相等的充要条件，探究复数除法运算三角表示的几何意义；在复数三角形式和代数形式的互化过程中，能感受事物之间在一定条件下可以互相转化的辩证唯物主义观点.

　　三、教学问题诊断分析

　在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点z(a,b)以及向量的一一对应关系；掌握了复数乘、除运算的运算法则，为本单元学习复数的三角表示奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，而且有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和余弦函数就是复数的三角表示式.因此，探究和理解复数的三角表示式有一定难度.

　在能力基础上，学生通过高一上学期的学习，对高中数学学习中常用的基本数学思想方法已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也知道类比是研究数学问题的一种常用的方法，但在实际应用中，学生运用起来还不够熟练，而且往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题，所以在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍.

　在学习态度上，由于高考不涉及本单元的内容，所以学生在重视程度上可能不够，需要教师设置比较好的问题情境，并指出学习本节内容的重要意义和价值，从而激发学生的学习兴趣和学习主动性.

　综上所述，本单元的教学难点为：

　（1）探究、理解复数的三角表示式；

　（2）对复数乘、除运算三角表示几何意义的理解.

　对于难点（1），在讲解本单元的第一课时前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量和三角函数的联系性，这是突破难点的一个重要举措；探究出复数的三角表示式后，让学生明晰复数三角表示式的基本结构特征，这样有助于学生理解复数的三角表示式.

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四、教学重点、难点

重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，以及这些内容所体现的数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法.

难点：

　（1）探究、理解复数的三角表示式；

　（2）对复数乘、除运算三角表示几何意义的理解.

五、数学学科素养

数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象

六、教学过程

第1课时

7.3.1 复数的三角表示式

　　（一）课时教学内容